명제 논리 (4): 자연어 논증의 형식화와 평가

오늘의 논리학 시리즈는 현대 논리학에 대한 포괄적이고 기초적인 이해를 위한 자료들을 제공합니다.

명제 논리 (1) | (2) | (3) | (4)
1차 양화 논리 (1) | (2) | (3) | (4)
(추가 예정)

1.9. 자연어 논증의 형식화

지금까지 $Pr$을 규정하고, $Pr$이 갖는 성질들을 살펴보았다. 이렇게 규정된 $Pr$의 쓸모는 결국 명제를 단위로 하는 자연어 논증의 평가를 보다 용이하게 하는 데에 있다. 자연어 논증을 구성하는 문장들을 $\mathcal{L}_{Pr}$의 문장으로 번역한 뒤 그 논증의 구조를 $Pr$ 내에서 구현한다면, 그 자연어 논증을 $Pr$의 구문론적 증명 절차를 통한 증명으로 재구성할 수 있을 것이며, 다른 한편으로는 $Pr$의 의미론을 이용하여 그 타당성을 검증할 수도 있을 것이다.

이를 위한 첫 단계는 자연어 논증을 $\mathcal{L}_{Pr}$의 문장으로 번역하는, 또는 형식화하는 일이다. (1.2)와 (1.3)에서 보았듯, $\mathcal{L}_{Pr}$의 구문은 문장 기호와 네 개의 문장 연결사($\neg,\land,\lor,\supset$)으로/만 구성된다. 그리고 문장 기호는 명제, 즉 진리값을 갖는 존재자를 표현한다. 그렇다면 우리는 대략 다음과 같은 (이를테면 ‘구문론적’) 번역 지침을 가질 수도 있을 것이다(편의상, 어떤 명제의 참 또는 거짓을 주장하는 자연어 문장을 “진술^statement”이라고 부르자):

모든 진술은 $p_i$로 번역될 수 있다.
진술 $s$가 ‘...가 아니다’를 통해 어떤 진술을 부정하는 문장이라면, $s$는 $\neg p_i$로 번역될 수 있다.
진술 $s$가 ‘... 그리고 ...’를 통해 두 진술을 연결해주는 문장이라면, $s$는 $p_i\land p_j$로 번역될 수 있다.
진술 $s$가 ‘... 또는 ...’를 통해 두 진술을 연결해주는 문장이라면, $s$는 $p_i\lor p_j$로 번역될 수 있다.
진술 $s$가 ‘만일 ...라면, ...이다’를 통해 두 진술을 연결해주는 문장이라면, $s$는 $p_i\supset p_j$로 번역될 수 있다.

하지만 이 지침은 완전하지 못하다.^[1] 자연어의 접속사들 중에는 “그리고”와 동의어인 다른 단어들이 있고, 또 때로 “또는”은 $\lor$과 달리 둘 중 하나의 진술만이 참임을 주장하기 위해 쓰인다. 조건문의 경우는 더 문제가 많아서, “...라면 …이다” 형식의 자연어 문장이 $Pr$의 $\supset$과 전혀 의미가 다른 경우가 많다. 이런 점을 고려할 때, 약간은 복잡하지만, 다음의 (이를테면 ‘의미론적’) 지침을 사용하는 것이 보다 권장할 만할 것이다.

모든 진술은 $p_i$로 번역될 수 있다.
진술 $s$가 어떤 진술이 거짓임을, 그리고 오직 그것만을 단언하는 문장이라면, $s$는 $neg p_i$로 번역될 수 있다.
진술 $s$가 어떤 두 진술이 모두 참임을, 그리고 오직 그것만을 단언하는 문장이라면, $s$는 $p_i\land p_j$로 번역될 수 있다.
진술 $s$가 어떤 두 진술 중 하나 또는 모두가 참임을, 그리고 오직 그것만을 단언하는 문장이라면, $s$는 $p_i\lor p_j$로 번역될 수 있다.
진술 $s$가 두 진술 $a$, $b$에 대해, 두 진술이 모두 참이거나, 아니면 $a$가 거짓임을, 그리고 오직 그것만을 단언하는 문장이라면, $a$의 번역이 $p_i$이고 $b$의 번역이 $p_j$일 때, $s$는 $p_i\supset p_j$로 번역될 수 있다.

그런데 이 지침을 사용하는 경우에도 나름의 모호함이 있을 수가 있다. 가령, 의미가 같지만 다른 구문을 취하는 두 자연어 문장은 $\mathcal{L}_{Pr}$의 동일한 문장으로 번역되어야 하는가, 또는 다른 문장으로 번역되되 둘 사이의 필요충분조건 관계를 가정해야 하는가? 유감스럽게도, 이러한 사항을 결정하는 일은 분명한 지침을 주기보다는 맥락에 따라 번역자가 논리적 감에 의존해 수행해야 하는 것처럼 보이기도 한다. (일단 이 점은 넘겨 두도록 하자.)

여하간 각 자연어 진술들을 알맞게 번역하기만 했다면, 우리는 진술 $s_1, ..., s_{n-1}$을 전제로 해 $s_n$을 결론으로 갖는 자연어 논증을 다음의 형식으로 재구성할 수 있을 것이다(단, $\phi_k$는 임의의 $\mathcal{L}_{Pr}$ 문장, $\phi_m$은 $s_n$의 형식화): \[\phi_1, ..., \phi_{m-1} \sslash \phi_m \tag{1.9}\](단 “$\sslash$”는 전제들과 결론의 구분선.)

1.10. 논증의 평가

논증을 형식화했으니, 이제 평가의 차례이다. 전제와 결론으로 구성된 자연어 논증을 평가함에 있어, 두 가지 지표가 존재한다. 타당성과 건전성이 그것이다. 어떤 논증이 타당한 것은, 전제들이 모두 결론을 지지하는 경우에 해당한다. 한편 어떤 논증이 건전한 것은, 그 논증이 타당하면서, 또한 그 전제들이 모두 참인 경우에 해당한다.

그렇다면 일단 우리는 자연어 논증이 $Pr$에서 타당하다는 것을 아래와 같이 정의할 수 있을 것이다. (1.9)를 따라 형식화된 논증 $A \defeq\phi_1, ..., \phi_{m-1} \sslash \phi_m$에 대해,\[A\text{가 타당하다} \iff \{\phi_1, ..., \phi_{m-1}\}\vDash\phi_m\tag{타당성}\]

이제 건전성의 차례이다. 여기에서는 ‘전제들이 모두 참’이라는 것이 문제가 된다. 한편 자연어 논증이란 세계의 어떤 시점에서 진술된 것이므로, 해석 함수는 그 맥락에 따라 이미 주어져 있어야 할 것이다. 이를 “의도된 해석^{intended interpretation}”이라고 부르도록 하자. 우리가 관심 갖는 논증들에 있어, 그 전제들이 모두 참인지는 그것이 논리적으로 참인지가 아니라, 그것이 그 맥락에서 사실로서 성립하는지에 달려있다는 것이다.

이 점을 고려해, 발화 맥락 $C$에서 이루어진 자연어 $\mathcal{L}_N$의 논증에 있어 $Pr$에서의 의도된 해석 $\mathcal{I}_{IntC}$를 다음과 같은 메타 논리적 표현으로 정의할 수 있을 것 같다:\[\eqalign{
&\text{$p_i$에 대응되는 자연어 문장 $s_i$, 그리고 모든 $i$에 대해,}\\
&\text{($s_i$가 참이다)$_{\mathcal{L}_N, C}$} \iff (v^{\mathcal{I}_{IntC}}(p_i)=1)_{\mathcal{L}_{Pr}}
}\tag{의도된 해석}\] 이제 우리는 다음과 같이 자연어 논증의 건전성을 정의할 수 있다: \[\eqalign{
A\text{가 건전하다} \iff &(i)& A\text{가 타당하다;} \\
& (ii)& 1\leq k\leq m-1\text{인 모든 $k$에 대해, }\\&&v^{\mathcal{I}_{IntC}}(\phi_k)=1.
}\tag{건전성}\]

논증 평가의 예시

위에서의 고찰을 바탕으로, 실제로 자연어 논증을 평가하는 경우를 생각해 보자. 우리가 고려할 논증은 다음과 같다^[2]:\[\eqalign{
&1.&\text{지훈이 제네시스를 갖고 있다.}\\
&2.&\text{따라서 지훈이 제네시스를 갖고 있거나, 보현이 부산에 있다.}
}\tag{1.10}\]

(1.10)은 다음과 같은 논증으로 형식화될 수 있을 것이다: $p \sslash p\lor r$. 그리고 이는 타당한 논증이다. $p$가 $p\lor r$을 함축하기 때문이다. 그런데 (1.10)은 그 자체로는 건전한 논증은 아니다. 일단 (1.10)의 맥락 $C_1$에서 지훈이 제네시스를 갖고 있다고 하자. 그렇다면 $v^{\mathcal{I}_{IntC_1}}(p)=1$이며, (1.10)은 건전한 논증이다. 그러나 그 맥락이 지훈이 제네시스를 갖고 있지 않은 $C_2$였다면, $v^{\mathcal{I}_{IntC_2}}(p)=0$이며, 따라서 (1.10)은 건전하지 못하다.

같은 방식으로, 우리는 (1.10)보다 더 복잡한 자연어 논증에 대해서도 형식화와 형식 논리적 도구들을 통해 그 타당성과 건전성을 결정할 수 있을 것이다.

1.11. 명제 논리의 한계

그러나 명제 논리는 한계를 갖는다. 예컨대, 우리는 다음과 같은 구조의 논증을 직관적으로 타당하다고 여긴다:\[\eqalign{
1. &\text{모든 사람은 죽는다.} \\
2. &\text{소크라테스는 사람이다.} \\
3. &\text{따라서 소크라테스는 죽는다.} \\
}\tag{1.11}\] 그런데 지금까지의 논의를 고려할 때, 이와 같은 자연어 논증을 형식화할 경우 이 논증은 구문론적으로 증명될 수 없는 종류의 논증이 된다. 나아가 의도된 해석 하에서는 이 논증이 타당하겠지만, 어떤 의도되지 않은 해석, 가령 2를 거짓으로 간주하는 해석 하에서는 이 논증은 부당한 논증이 된다. 즉, (1.11)은 논리적으로 올바르지 못한 논증이 되는 것이다.

이러한 결과와 달리 우리는 (1.11)과 같은 논증이 논리적으로 참이며, 어떤 증명 절차를 통해 증명될 수 있는 그러한 종류의 논증이라는 직관을 갖는다. 왜 그런 것일까? 보건대, 이 문장들은 주어-술어의 구조를 가지며, 1과 2의 연언^conjuction(즉, ’그리고’를 통한 결합) 이 2의 주어에 대한 어떤 함축들을 갖고, 그 함축 중 하나가 바로 3이기 때문이다. 그러나 $Pr$에는 이러한 구조와 함축 따위를 다룰 수 있는 구문론적, 의미론적 자산이 없다!

따라서 우리가 (1.11)와 같은 논증들을 논리 체계를 통해 잘 다루고자 한다면, 더 큰 표현력을 갖는 체계를 사용해야 할 것이다. 주어-술어 구조의 문장들을 표현할 수 있는 구문론과, 이로부터 만들어진 구문과 문장을 해석, 평가할 수 있는 의미론, 그리고 이러한 체계에서의 증명에 관한 규칙들이 필요하다. 우리가 이어서 살펴볼 1차 양화 논리는 이를 위한 모범 사례이다.

각주

1. Cf. 기호 논리학(벤슨 메이츠 저, 김영정, 선우환 역), pp. 141-142.
2. Cf. Edmund Gettier, Is Justified True Belief Knowledge?, Analysis 23.6: pp. 121-123. 게티어의 논문에 관해서는 이 글(링크)을 참조.

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